Rasgele degiskenlerin esitligi Pr(X=Y)

Aşağıdaki yazıyı stokastik (olasılık teorisinin bir alt dalı) dersine çalışırken kendim için yazmıştım. Belki faydalı olabilir ve çeşitli öneriler gelebilir diye web günceme koyuyorum.

Aslında bu yazıyı otomatik olarak rtf formatından latex'leyip düzgün bir şekilde render edecek bir sistem arıyorum, ama henüz yok böyle bir şey. Başka bir şekilde bu sorunu sonra çözmek için bırakıyorum.

Şöyle bir durum var:
Y=\sum_{i=0}^{X}Z_i
Burada X iv bir rasgele değişken.
Z_i bernolli dağılıma sahip bir rv.

Şimdi bizden istenen Pr(Y=X)

Bu çok ilginç bir durum, çünkü Y=X olayında iki farklı rasgele değişkenin birbirine eşit olması aranıyor. Değişkenlerden herhangi birinin belirli bir değeri yok ki, bununla ilgili formülü hemen ortaya çıkaralım.

Ne yapacağız?

Bu durumda, toplam olasılık kanununu (law of total probability) kullanacağız. Bu kanun ne diyor?

Bir olayın olasılığı, o olayın gerçekleşmesini sağlayan örneklem uzayındaki tüm öğelerinin olasılıklarının toplamına eşittir. Uy? Bu da nedir? Tekrar ifade etmeye çalışayım: Bir olay var. Olay nedir? Bir örneklem uzayının alt kümesidir. Örneklem uzayı neydi? Bir rasgele değişkenin sahip olabileceği değerlerin evrensel kümesi. Peki bir olayın gerçekleşme olasılığı nedir? O olayın içindeki (yani altkümedeki) tüm değerlerin olasılıklarının toplamıdır.

Tamam kanunu öğrendik. Şimdi bunu probleme uygulayalım. Y=X olayına ait tüm değerlerin olasılıklarını toplayacağız:

Pr(Y=X)=\sum_{n=0}^\infty Pr(Y=X,X=n)

Hmm, güzel bir açılım, ama doğru mu acaba? Y=X olayına ait tüm değerleri arıyorduk öyle değil mi? Nedir bu değerler?

X=0 olması durumunda Y=0 olması
X=1 olması durumunda Y=1 olması
X=2 olması durumunda Y=2 olması
...

Bir dakika, ilginç bir şey fark ettim. Olayın değerleri, ki aslında bunlar da birer olay, hiçbir zaman eşitliğin iki tarafında da rasgele değişken içermiyor. Hmm, bunu not edeyim, demek olasılıkları hesaplarken her zaman amacımız eşitliğin bir tarafını sabit değerler haline getirmek.

Peki aklıma bir şey takıldı? (Ekmek teknesindeki Kıl ağbi aklıma geldi :)) Bu olaylar, "X=n olması durumunda Y=n olması" aslında koşullu bir olasılığa benziyor, yanlış mıyım?

Evet öyle görünüyor.

O zaman, formülde, Pr(Y=X,X=n) yerine Pr(Y=|X=n) demek gerekmez mi?

Hmm, o zaman sözlü ifadeyi değiştirmeliyiz: "X=n olsun ve Y=n olsun"

Bir dakka, öyle kelimelerin yerlerini değiştirmekle matematik yapacaksak, o zaman keyfimize göre hareket etmiş olmaz mıyız?

Doğru. O zaman ilk durumdaki ifade şekli yanlış.

Ama aynı şey değil mi, ha "X=n olsun ve Y=n olsun" demişsin, ha "X=n olması durumunda Y=n olması" demişsin.

Aynı şey değil. İlki iki olayın aynı anda gerçekleşmesidir, diğeri bir olayın gerçekleştiğinin verili olması durumunda, diğer olayın gerçekleşmesidir. Bu ikisinin olasılıkları birbirinden farklı olur. İkinci duruma koşullu olasılık denir. Burada iki farklı olayın birbirine koşullandırılması vardır. X=n olması birinci olaydır, buna A olayı diyelim. Y=n olması ikinci olaydır, buna B olayı diyelim.

Pr(X=n olması durumunda Y=n olması)=Pr(B|A)=\{Pr(A\cap B) \over Pr(A)}

Yani B ve A'nın birleşik olasılığının, A'nın olasılığına bölünmesi, B'nin A'ya koşullandırılmış olasılığını verir. Dolayısıyla birleşik olasılık, koşullandırılmış olasılıktan farklıdır.