Geceyarısına 5 dakika kaldı. Yarın stokastik finali var. Bütün hazırlıklar tamam, sınava gireceğiz ve ders bitecek. Gariptir, sanki çok sevdiğim bir dostumdan veya bir yerden ayrılacakmışım gibi hissediyorum kendimi. Çok güzel bir dersti stokastik. Her hafta ödevleri oluyordu. Her ödev, başlı başına bir dertti (!) Çoğu zaman her bir soru, diğer sorulardan çok farklı bir yaklaşımla çözülmeyi gerektiriyordu ve bu yaklaşımın ne olduğunu kendimiz bulmamız gerekiyordu. Refik Güllü Hocamız, sağolsun, gerçekten dersi öyle güzel bir şekilde anlatıyordu ki, acayip lezzet aldım dersleri dinlemekten.
Dürüst olmak gerekirse, bütün dersleri tam anlayarak takip edemiyordum. Bazen bir yerler eksik kalıyordu, ama sonra notlardan dersi tekrar çalışırken, o sırada hocanın dediği bir iki söz aklıma geliyordu ve her şey açılıyordu.
Çok matematiksel ve teorik bir dersti. Pek çok kişi matematikten hiç hoşlanmaz. Matematiği iyi olanların da pek çoğu teorik matematikten hoşlanmaz. Açıkçası ben de teorik matematikte çok yetersiz görüyorum kendimi. Fakat bu dersteki teorik veya uygulamalı konular, benim çok hoşuma gitti. Garip bir dersti diye düşünüyorum. Onlarca ilginç fikir öğrendim ve hepsini birleştirince, stokastik denilen garip konu aklıma yatmaya başladı.
Garip diyorum, gerçekten garip bir konu stokastik. Sezgisel bir yanı vardır olasılık konularının. Bulmaca gibi gelir ilkin insana. 5 defa zar atıldığında, en az bir defa 2 gelme olasılığı nedir? Bu tip soruları çözmek ilkin tamamen sezgisel olarak mümkündür. Fakat biraz ilerledikçe, garip konulara gelirsin: c tane sunucunun bulunduğu bir sisteme, yeni müşteriler "lamda" hızıyla geliyor. Her bir sunucu "mu" hızıyla bir müşteriye hizmet veriyor. Sistemde iki tane müşteri bulunması durumu, ne kadar zaman sürer? İlk bakışta, bu soruyu çözmenin yolu kesin garip anlaşılmaz formüller içeriyordur, diye düşünüyor insan. Ama öyle değil, böyle bir soruyu son derece anlamlı ve anlaşılır yollardan çözmek mümkün ve bu beni çok hayretler içinde bırakıyor. Mesela, şunu düşünün: bir geliş, bir de çıkış süreci olsun. Bunların her ikisinin de süreleri, exponensiyel bir şekilde dağılsın. Bu ikisinden hangisinin önce meydana geleceğini ifade eden sürecin süresinin dağılımı nedir? Exponensiyeldir, hızı da, iki sürecin hızlarının toplamıdır. Bu şekilde anlatınca, matematiksel ilişkilerin içindeki güzellik görünmüyor, farkındayım. Fakat birazcık bunun matematiğini öğrenmeye teşebbüs edin, göreceksiniz, ne kadar ince bir tasarım var.
Öğrenci psikolojisinin temel kurallarından biri, sınavlardan stres duymaktır. Her sınav sıkıntılıdır. Sınav öncesi insan gergindir. Sınavdan çıktıktan sonra öğrenci rahatlar ve bir daha bu dersin yüzünü görmek istemez. Fakat bu derste bu olmuyor. Ders o kadar zevkliydi ki, sınavla bu dersin bitiyor olması, bende ayrılık hüznü bırakıyor :)
Fazla romantik bir yazı oldu. Neyse idare edelim, sonraki yazılarda bu duygusallık tonunu kapatırız.
Salı, Ocak 08, 2008
Stokastik dersini ozleyecegim
Cumartesi, Kasım 03, 2007
Rasgele degiskenlerin esitligi Pr(X=Y)
Aşağıdaki yazıyı stokastik (olasılık teorisinin bir alt dalı) dersine çalışırken kendim için yazmıştım. Belki faydalı olabilir ve çeşitli öneriler gelebilir diye web günceme koyuyorum.
Aslında bu yazıyı otomatik olarak rtf formatından latex'leyip düzgün bir şekilde render edecek bir sistem arıyorum, ama henüz yok böyle bir şey. Başka bir şekilde bu sorunu sonra çözmek için bırakıyorum.
Şöyle bir durum var:
Y=\sum_{i=0}^{X}Z_i
Burada X iv bir rasgele değişken.
Z_i bernolli dağılıma sahip bir rv.
Şimdi bizden istenen Pr(Y=X)
Bu çok ilginç bir durum, çünkü Y=X olayında iki farklı rasgele değişkenin birbirine eşit olması aranıyor. Değişkenlerden herhangi birinin belirli bir değeri yok ki, bununla ilgili formülü hemen ortaya çıkaralım.
Ne yapacağız?
Bu durumda, toplam olasılık kanununu (law of total probability) kullanacağız. Bu kanun ne diyor?
Bir olayın olasılığı, o olayın gerçekleşmesini sağlayan örneklem uzayındaki tüm öğelerinin olasılıklarının toplamına eşittir. Uy? Bu da nedir? Tekrar ifade etmeye çalışayım: Bir olay var. Olay nedir? Bir örneklem uzayının alt kümesidir. Örneklem uzayı neydi? Bir rasgele değişkenin sahip olabileceği değerlerin evrensel kümesi. Peki bir olayın gerçekleşme olasılığı nedir? O olayın içindeki (yani altkümedeki) tüm değerlerin olasılıklarının toplamıdır.
Tamam kanunu öğrendik. Şimdi bunu probleme uygulayalım. Y=X olayına ait tüm değerlerin olasılıklarını toplayacağız:
Pr(Y=X)=\sum_{n=0}^\infty Pr(Y=X,X=n)
Hmm, güzel bir açılım, ama doğru mu acaba? Y=X olayına ait tüm değerleri arıyorduk öyle değil mi? Nedir bu değerler?
X=0 olması durumunda Y=0 olması
X=1 olması durumunda Y=1 olması
X=2 olması durumunda Y=2 olması
...
Bir dakika, ilginç bir şey fark ettim. Olayın değerleri, ki aslında bunlar da birer olay, hiçbir zaman eşitliğin iki tarafında da rasgele değişken içermiyor. Hmm, bunu not edeyim, demek olasılıkları hesaplarken her zaman amacımız eşitliğin bir tarafını sabit değerler haline getirmek.
Peki aklıma bir şey takıldı? (Ekmek teknesindeki Kıl ağbi aklıma geldi :)) Bu olaylar, "X=n olması durumunda Y=n olması" aslında koşullu bir olasılığa benziyor, yanlış mıyım?
Evet öyle görünüyor.
O zaman, formülde, Pr(Y=X,X=n) yerine Pr(Y=|X=n) demek gerekmez mi?
Hmm, o zaman sözlü ifadeyi değiştirmeliyiz: "X=n olsun ve Y=n olsun"
Bir dakka, öyle kelimelerin yerlerini değiştirmekle matematik yapacaksak, o zaman keyfimize göre hareket etmiş olmaz mıyız?
Doğru. O zaman ilk durumdaki ifade şekli yanlış.
Ama aynı şey değil mi, ha "X=n olsun ve Y=n olsun" demişsin, ha "X=n olması durumunda Y=n olması" demişsin.
Aynı şey değil. İlki iki olayın aynı anda gerçekleşmesidir, diğeri bir olayın gerçekleştiğinin verili olması durumunda, diğer olayın gerçekleşmesidir. Bu ikisinin olasılıkları birbirinden farklı olur. İkinci duruma koşullu olasılık denir. Burada iki farklı olayın birbirine koşullandırılması vardır. X=n olması birinci olaydır, buna A olayı diyelim. Y=n olması ikinci olaydır, buna B olayı diyelim.
Pr(X=n olması durumunda Y=n olması)=Pr(B|A)=\{Pr(A\cap B) \over Pr(A)}
Yani B ve A'nın birleşik olasılığının, A'nın olasılığına bölünmesi, B'nin A'ya koşullandırılmış olasılığını verir. Dolayısıyla birleşik olasılık, koşullandırılmış olasılıktan farklıdır.
Matematiksel Programlamada Indeksler
Matematiksel programlamanın en zor taraflarından biri bence, indekslerin neye karşılık geldiğini hatırlamak. i, j, n, m bir sürü değişken var.
i malzemelere karşılık gelir, j çantalara, n çantaların sayısıdır, m malzemelerin sayısıdır. İyi güzel... Şimdi bir de bunları formüllerde kullanalım: i üzerinden topla (sum over i), bütün x_ij'lerin toplamı 1 olmalıdır. Bu denklem tüm j'ler için yazılır. Hmm, ne güzel. matematik yapmak yerine, i ve j'leri düşünüyoruz. Zaten matematiğin mantıksal ilişkilerini anlamak için zihnimizi bayağı uğraştırmamız gerekiyordu, şimdi bir de i ve j'lerin karma karışıklığı ortaya çıktı.
Neden şöyle yapmıyoruz: ç çantalara karşılık gelsin, m malzemelere karşılık gelsin. n_ç çantaların sayısı, n_m malzemelerin sayısı olsun. Şimdi bir malzeme bir çantaya atanmış olmalı, öyleyse her bir m (malzeme için): tüm ç'lerin üzerinden x_çm'leri topla = 1 olsun. Anlaşılması çok daha kolay...
Neden anlamlı indeksler kullanmak yararlı olsun?
Çünkü bir problem üzerine hızlı bir şekilde düşünebilmek gerekiyor. Düşünme süreci akıcı olmalı, pürüzler düşünmeyi engellememeli. Bu yüzden değişkenlerin isimleri üzerinde işlem yapmak gerekmemeli.
Kayıtlar
